Allgemeine und Anorganische Chemie (AC1)

Eine alternative Methode zur Konstruktion einer Elementarzelle

Gezeigt ist eine Struktur aus gleichartigen Atomen. Wird irgend ein Referenzpunkt definiert, zum Beispiel der Mittelpunkt einer Raute aus vier Atomen, so gehören alle übrigen Mittelpunkte zu derselben Gitterpunktschar. Die Elementarzelle könnte dann so gewählt werden wie es im Bild gezeigt ist.

Nun die Frage: Können Sie ein Verfahren angeben, bei dem eine Elementarzelle resultiert, die genauso wie die gezeigte 1 Gitterpunkt enthält, die bei ihrer Vervielfältigung lückenlos die Fläche füllt, die aber kein Parallelogramm ist?

Hier die Auflösung:

Sie sehen eine Wigner-Seitz-Zelle. Die Konstruktionsvorschrift geht so: (1) Wie gewohnt: bestimme eine Schar Gitterpunkte. (2) Wähle einen beliebigen Punkt aus und zeichne gerade Linien zu den nächsten Nachbarpunkten. (3) Errichte auf jeder Strecke die Mittelsenkrechte (im Raum: die mittelsenkrechte Fläche); die Mittelsenkrechten schließen die gesuchte Elementarzelle ein. Wenn man unnötig viele Punkte berücksichtigt hat, liegen die entsprechenden Geraden einfach außerhalb der Zelle.

Beachten Sie, dass die so konstruierte Wigner-Seitz-Zelle die Fläche/den Raum genauso lückenlos parkettiert wie ein Parallelogramm/Parallelepiped und dass die eingeschlossene Fläche genau so groß ist wie im oberen Bild.

Wigner-Seitz-Zellen sind in der Festkörperphysik beliebt. Sie werden sie eines Tages vielleicht bei der Beschreibung von Materialeigenschaften kennenlernen. Die dort verwendeten Brillouin-Zonen sind Wigner-Seitz-Zellen.